Introduction à la géométrie projective PDF

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Ce livre est une invitation au voyage dans l’espace de la géométrie projective où deux droites parallèles se coupent toujours en un point, sauf si elles sont confondues, et où les points de la droite à l’infini peuvent être imaginés comme des directions de droites affines. Si le discours est rigoureux et nécessite de connaître les bases de l’algèbre linéaire et un peu de géométrie classique, l’accent est mis sur l’interprétation des objets que l’on construit et sur l’exploitation de ceux-ci pour permettre de démontrer facilement deux jolis résultats : les théorèmes de Pappus et de Desargues. Ou comment comprendre pourquoi l’emploi de coordonnées homogènes permet d’éviter de devoir traiter de nombreux et fastidieux cas de figure. Ce livre est accessible à tout lecteur curieux qui possède une licence de mathématiques. Il intéressera les candidats à l’agrégation qui voudraient rapidement comprendre ce qu’est un espace projectif et comment on peut l’utiliser pour démontrer des résultats de géométrie comme les théorèmes de Pappus et de Desargues sans avoir à envisager tous les nombreux cas de figures possibles. Un exemple d’utilisation de ces espaces et des coordonnées homogènes est en outre proposé dans le dernier chapitre à l’occasion d’un exercice de géométrie de première S. Le lecteur pressé ou désireux d’aller droit au but pourra, dans un premier temps, se contenter de parcourir les chapitres 1, 2, 4 et 5 pour se faire une idée précise de l’utilisation du plan projectif en géométrie. Le chapitre sur la dualité montre comment on peut déduire mécaniquement des énoncés de théorèmes à partir de résultats déjà connus. Les chapitres sur la topologie d’un espace projectif et sur les homographies, permettent d’utiliser nos définitions toutes fraîches pour ouvrir des horizons. Cette visite d’une géométrie étonnante sera l’occasion de prendre du recul et nous permettre de : – mettre en œuvre des résultats vectoriels classiques, – compléter une culture mathématique générale, – mieux comprendre deux jolis théorèmes dans des environnements géométriques différents. Les deux jolis théorèmes d’alignement que sont les résultats de Pappus et de Desargues n’ont rien perdu de leur fraîcheur malgré les siècles…

Polytechnique: textes de maths, programmation, liens. Voulez-vous changer le monde avec moi ? La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l’on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l’archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l’avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse. En 1902, Henri Poincaré propose un modèle simple dans lequel le cinquième postulat d’Euclide n’est pas valable. La droite est ici définie par extension comme la courbe de plus court chemin qui joint deux points de l’espace considéré. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit, à mesure qu’on se rapprochera du cercle limite. Ce schéma explicite une approche intuitive de la géométrie non euclidienne proposée par Poincaré.

Les êtres qui habitent dans ce monde ne peuvent pas savoir qu’ils rapetissent car s’ils se mesurent avec un mètre ruban, le mètre ruban également se rapetisse. Nous savons qu’ils se rapetissent mais eux ont une vie tout à fait normale et tout à fait cohérente. S’ils veulent aller d’un point à un autre par le plus court chemin, nous pensons qu’ils auront tendance à se rapprocher du centre, car leurs pas sont plutôt plus grands vers le centre. Alors on peut démontrer que le plus court chemin d’un point à un autre dans cette géométrie imaginaire est un arc de cercle perpendiculaire au cercle limite. Leurs droites à eux sont nos cercles à nous. Et vous voyez que dans leur géométrie, l’axiome d’Euclide n’est pas satisfait. Il y a une infinité de parallèles qui passent par un point.

Et ces gens sont raisonnables, ils ne savent pas qu’ils rapetissent. Mais ils sont tout aussi raisonnables que nous qui ignorons probablement beaucoup d’autres choses. La morale de cette petite histoire de Poincaré est qu’on peut très bien envisager beaucoup de mondes extrêmement raisonnables, chacun ayant sa géométrie, chacun ayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter une vision de notre monde concret . Le mathématicien d’aujourd’hui pour résoudre un problème, pour étudier une question, va utiliser une géométrie, va prendre sa boite à outil, et va choisir la géométrie la plus convenable pour comprendre le problème étudié. Voici la phrase de Poincaré : Une géométrie ne peut être plus vraie qu’une autre, elle peut simplement être plus commode.

Les géométries à n dimensions et les géométries non euclidiennes sont deux branches séparées de la géométrie, qui peuvent être combinées, mais pas obligatoirement. Une confusion s’est établie dans la littérature populaire à propos de ces deux géométries. Ce postulat — notamment car il fait appel au concept d’infini — a toujours paru un peu  à part  et non évident aux mathématiciens, qui ont cherché soit à le remplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit à le démontrer à partir des autres postulats d’Euclide. John Wallis et surtout Giovanni Girolamo Saccheri se sont inspirés des travaux de ces mathématiciens et ont tenté de démontrer le postulat des parallèles. Saccheri consacra sa vie entière à essayer de démontrer le postulat des parallèles par l’absurde, sans y parvenir. Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Johann Heinrich Lambert reprend l’hypothèse de l’angle aigu, mais ne conclut pas à une contradiction. La géométrie communément appelée  géométrie de Riemann  est un espace sphérique à trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, à courbure positive régulière, alternative au postulat euclidien des parallèles.

Il existe des espaces non euclidiens à trois dimensions. Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D. Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. En particulier, une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il n’existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D. La conclusion de Saccheri est restée célèbre :  L’hypothèse de l’angle aigu est absolument fausse car cela répugne à la nature de la ligne droite.