Louis Bachelier. : Aux origines de la finance mathématique PDF

Les cinq chemins bleus représentent leur trajet aléatoire dans le fluide. Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d’une  grosse  particule immergée dans un fluide et qui n’est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les  petites  molécules du fluide environnant. Si tu penses que les atomes, louis Bachelier. : Aux origines de la finance mathématique PDF des choses, peuvent trouver le repos et dans ce repos engendrer toujours de nouveaux mouvements, tu te trompes et t’égares loin de la vérité.


Les articles rassemblés dans ce volume pour le centenaire de la soutenance de la thèse de Louis Bachelier « Théorie de la spéculation » sont consacrés à l’exposé de la vie et de l’œuvre de ce savant peu connu considéré aujourd’hui comme le fondateur de la finance mathématique. Le présent ouvrage donne le panorama le plus complet et le plus exact à ce jour de l’un des plus grands précurseurs des mathématiques contemporaines. En replaçant son œuvre dans son cadre historique et épistémologique, et en montrant ce que sont, de nos jours, devenues ses idées ainsi que leur impact sur l’industrie financière, cet ouvrage est une clef pour comprendre l’activité financière d’aujourd’hui. Il s’adresse aussi bien au chercheur, à l’enseignant, à l’étudiant en Economie ou en Mathématiques qu’au professionnel de la Finance.

Puisqu’ils errent dans le vide, il faut qu’ils soient tous emportés, soit par leur pesanteur propre, soit par le choc d’un autre corps. 1827, le naturaliste écossais Robert Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen de la Clarkia pulchella, de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques et non pas les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné. Brown n’est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Compte tenu de la médiocre qualité de l’optique dont il disposait, certains ont contesté qu’il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. En 1901, Louis Bachelier propose un premier modèle mathématique du mouvement brownien et l’applique à la finance. Reproduction d’un dessin de Perrin dans Mouvement brownien et réalité moléculaire. Sont représentées ici trois trajectoires de particules de mastic d’environ 1 µm de diamètre.

Les positions successives des particules, pointées toutes les 30 secondes, sont reliées par des segments. En 1905, Albert Einstein donne une description quantitative du mouvement brownien et indique notamment que des mesures faites sur le mouvement permettent d’en déduire leur dimension moléculaire. Jean Perrin réalise ce programme et publie en 1909 une valeur du nombre d’Avogadro, ce qui lui vaut un prix Nobel en 1926. C’est un cas où il est vraiment naturel de penser à ces fonctions continues sans dérivées que les mathématiciens ont imaginées, et que l’on regardait à tort comme de simples curiosités mathématiques, puisque l’expérience peut les suggérer. Norbert Wiener donne une définition mathématique en 1923 en construisant une mesure de probabilité sur l’espace des fonctions continues réelles. Il étudie, de manière mathématique, la continuité et non-dérivabilité des trajectoires du mouvement brownien.

En 1933, Paul Lévy démontre que le mouvement brownien est un cas particulier de martingale continue, notion inventée par Jean Ville en 1933, celui où le carré de ce mouvement soustrait de sa valeur temps reste une martingale. Depuis, des études fines sur le mouvement brownien ont été réalisées par de nombreux auteurs. Citons Volker Strassen ainsi que Kiyoshi Itō, lequel développe un calcul différentiel spécifique au mouvement brownien : le calcul stochastique. La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n’y a pas de mouvement d’ensemble, contrairement à un vent ou un courant.

Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars 1900. D le coefficient de diffusion, et t le temps écoulé. Approximation d’un mouvement brownien bidimensionnel par une marche aléatoire de 3 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse et en ordonnée. Approximation d’un mouvement brownien tridimensionnel par une marche aléatoire de 1 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse, en ordonnée et en côte.