Tests non paramétriques avec applications à l’économie et à la gestion PDF

Si ce tests non paramétriques avec applications à l’économie et à la gestion PDF n’est plus pertinent, retirez-le. En pratique : Quelles sources sont attendues ? En théorie des probabilités, l’espérance mathématique d’une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l’on s’attend à trouver, en moyenne, si l’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire.


Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s’agit d’une moyenne pondérée par les probabilités d’apparition de chaque valeur. Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l’espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. La présentation intuitive de l’espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la loi des grands nombres : l’espérance, si elle existe, est la limite presque-sûre de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l’infini. Il n’existe pas toujours d’espérance pour une variable aléatoire. En particulier les distributions à longue traine comme la distribution de Cauchy, produisent des intégrales non convergentes et donc des espérances non définies.

L’espérance est une caractéristique importante d’une loi de probabilité : c’est un indicateur de position. Ainsi, une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. Il s’agit de savoir quelle somme on peut espérer gagner dans un jeu de hasard. Il imagine ainsi un jeu de pile ou face et un pot commun de 64 pistoles, le premier joueur à voir apparaître trois fois la face qu’il a choisie remporte la mise. Si le jeu s’interrompt à un moment où chacun des deux joueurs a la même chance de gagner, il est équitable de répartir les 64 pistoles à parts égales entre chaque joueur, mais si la partie s’interrompt alors qu’un des joueurs a pris un avantage, la répartition doit se faire autrement. F, la partie aurait été équitable et l’interruption du jeu aurait conduit à distribuer 32 pistoles à chaque joueur.

Pour Pascal, le joueur ayant misé sur P doit obtenir 32 pistoles à coup sûr mais a une chance sur deux de gagner 32 pistoles supplémentaires. Il doit donc récupérer 48 pistoles. Il formalise ainsi la notion d’espérance, qu’il nomme la valeur de ma chance et l’étend à d’autres domaines que la théorie des jeux. Illustration de la convergence vers 3,5 de la suite des moyennes obtenues pour des lancers de dés quand le nombre de lancers augmente. L’espérance est fortement liée à l’idée de moyenne.

En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d’une seule expérience aléatoire mais la loi des grands nombres permet de mieux maitriser le résultat si on exécute un grand nombre d’expériences aléatoires de même type. L’espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l’on mesure si l’expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. Elle sert donc, en théorie des jeux, à l’organisateur qui peut ainsi prévoir la somme moyenne qu’il remporte pour chaque joueur, mais aussi dans le domaine des assurances pour déterminer le coût moyen d’une assurance permettant de couvrir les frais dus aux accidents. L’espérance et la loi des grands nombres permettent aussi d’invalider une loi de probabilité.

En effet, le poids d’un pain est soumis à des fluctuations aléatoires mais son espérance est fixée par la loi. Le poids d’un pain annoncé à 1 kg, par exemple, peut fluctuer autour de cette valeur. Poincaré aurait pesé sur une grande période le pain acheté chez son boulanger et aurait trouvé que son poids moyen était largement inférieur à 1 kg. Exemple : Le jeu de la roulette française consiste à lancer une petite balle sur une roulette contenant 37 cases. Un joueur mise une certaine somme M sur une des cases. Le nombre de joueurs dans un casino est suffisamment important pour que cette espérance corresponde effectivement au gain moyen par joueur pour le casino. En théorie des jeux, une espérance nulle correspond à un jeu équitable.

La définition permet de retrouver toutes les définitions précédentes. Il s’agit de la fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Linéarité : l’espérance est un opérateur linéaire. L’absence de la multiplicativité amène à étudier les covariances et corrélation.

Cette formule est un des avatars de la formule d’intégration par parties, comme on le voit dans le cas particulier où la fonction de répartition de X est continument dérivable. Pour une variable continue : dans le cas continu, les résultats sont analogues. Dans ce cas-ci, on utilise la densité de probabilité et les intégrales à la place de la distribution et des sommes. On considère fréquemment l’espérance comme le centre de la variable aléatoire, c’est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs. Mais ce point de vue n’est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s’en persuader il suffit d’étudier le cas d’une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. 6 ce qui veut dire qu’il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1.

Dans certains cas, les indications de l’espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu’on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d’euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l’espérance mathématique n’est donc pas approprié. Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l’idée d’aversion au risque qui conduit à assortir l’espérance mathématique d’une prime de risque pour son application dans les questions de choix. Mais c’est ce risque de forte perte en cas d’évènement rare qui l’incite à le souscrire.

L’espérance mathématique, comme d’autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d’évaluation en finance, par exemple pour l’évaluation d’entreprise. La finance comportementale aborde, entre autres, les aspects émotionnels et cognitifs, qui vont au-delà de la simple prime de risque, et qui peuvent interférer avec le concept rationnel d’espérance mathématique à l’heure du choix. L’espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d’utilité, appropriée dans le cas d’un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d’infinies. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu’un euro. Nicolas Trotignon, Pascal, Fermat et la géométrie du hasard , 1er juin 1998, p.

Du calcul dans les jeux de hasard, 1656-1657. Jean-Marc Rohrbasser et Jacques Véron,  Les frères Huygens et le calcul des aages : l’argument du pari équitable , Population, vol. Alex Bellos, Alex au pays des chiffres, p. Probabilités adaptées à la finance : article sur l’espérance et exemple simple, sur le site gestion-des-risques-conseil. La statistique est l’étude d’un phénomène par la collecte de données, leur traitement, leur analyse, l’interprétation des résultats et leur présentation afin de rendre les données compréhensibles par tous. Elle possède une composante théorique ainsi qu’une composante appliquée. La composante théorique s’appuie sur la théorie des probabilités et forme avec cette dernière, les sciences de l’aléatoire.